1. Magnitudes diréctamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción y si disminuye, la otra disminuye también en la misma proporción En la siguiente tabla encuentras información sobre la cantidad de pastillas de chocolate que se necesitan para una determinada cantidad de litros de leche con el fin de preparar un delicioso chocolate.
La tercera columna muestra que el cociente de las dos primeras columnas es una constante.
Se observa que, a medida que aumenta el número de litros de leche aumenta, en la misma proporción, el número de pastillas de chocolate que se requieren.
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2. Magnitudes invérsamente proporcionales
Dos magnitudes son invérsamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción y si disminuye, la otra aumenta también en la misma proporción. En la siguiente tabla encuentras información sobre el número de horas que se necesitan para descargar un camión, con todos los trabajadores haciéndolo al mismo ritmo.
La tercera columna muestra que el producto de las dos primeras columnas es una constante.
Se observa que, a medida que disminuye el número de trabajadores aumenta, en la misma proporción, el número de horas que se emplean para realizar el trabajo.
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3. Problemas de regla de tres simple
Los problemas de "regla de tres simple" son aquellos que:
- Involucran dos magnitudes proporcionales
- En un par dado de las magnitudes se conoce el valor de ambas magnitudes.
- En otro par se desconoce una de las magnitudes.
- Ejemplos
(1) Cuatro boletos para entrar a un teatro costaron $40.000. ¿Cuánto costarán 7 boletas para ese teatro?
(a) Determinar las magnitudes que intervienen en el problema.
(b) Determinar si las magnitudes son directa o invérsamente proporcionales.
Cuanto mayor sea la cantidad de boletos, mayor será el costo de los mismos; luego son magnitudes diréctamente proporcionales. (c): Hacer una tabla con los datos del problema:
(d) Analizar:
O sea pasar de 40000 a 40000(7/4) = $70.000 Respuesta
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(2) Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
(a) Determinar las magnitudes que intervienen en el problema.
(b) Determinar si las magnitudes son directa o invérsamente proporcionales.
Si aumenta la cantidad de hombres, aumenta el número de días que tardan en realizar el trabajo; luego son magnitudes diréctamente procionales. (c): Hacer una tabla con los datos del problema:
(d) Analizar:
O sea pasar de 24 a 24/6 = 4 días Respuesta
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- Procedimientos simplificados
(1) Cuatro boletos para entrar a un teatro costaron $40.000. ¿Cuánto costarán 7 boletas para ese teatro?
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(2) Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
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Primer procedimiento simplificado
Pasos (a) y (b) iguales.
Cuando las magnitudes son diréctamente proporcionales
(c): Hacer una tabla con los datos del problema agregando una tercera columna con el cociente de las columna donde estéé la incognita y la otra.
(d): Resolver la ecuación.
? / 7 = 40000 / 4
? = (40000 / 4) · 7
? = $70000
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Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales
(c): Hacer una tabla con los datos del problema agregando una tercera columna con el producto de las columnas primera y segunda.
(d): Resolver la ecuación.
18 · ? = 3 · 24
? = (3 · 24)/18
? = 4 días
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Segundo procedimiento simplificado
Pasos (a) y (b) iguales.
Cuando las magnitudes son diréctamente proporcionales
(c): Hacer una tabla con los datos del problema y sobre ella efectuar las operaciones que se indican con flechas de colores
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Cuando las magnitudes son invérsamente proporcionales
(c): Hacer una tabla con los datos del problema y sobre ella efectuar las operaciones que se indican con flechas de colores
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- Ejemplos resueltos por el segundo método simplicado
Un rectángulo tiene 25 cm de base y 6 cm de altura. ¿Qué altura debe tener un rectángulo de 15 cm de base para que los dos tengan la misma área?
Las magnitudes que intervienen en el problema son:
Cuanto mayor sea la base, menor debe ser la altura para que su producto (área) sea la misma; luego son magnitudes invérsamente proporcionales.
Tabla con los datos del problema e indicación de las operaciones teniendo en cuenta que las magnitudes son invérsamente proporcionales:
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Un tren que recorre 100 Kilómetros en una hora, demora 5 horas para hacer un viaje entre dos ciudades. ¿Cuánto tiempo tardará en este mismo viaje, un tren que recorre 50 Km en una hora?
Las magnitudes que intervienen en el problema son:
Cuanto mayor sean los kilómetros por hora, menor será la cantidad de horas para realizar el viaje. Luego son magnitudes invérsamente proporcionales.
Tabla con los datos del problema e indicación de las operaciones teniendo en cuenta que las magnitudes son invérsamente proporcionales:
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Si 3 kilos de naranjas cuestan $5000, ¿cuántos kilos de naranjas se pueden comprar con $32000?
Las magnitudes que intervienen en el problema son:
Cuanto mayor sea la cantidad de kilos de naranjas, mayor será el dinero que cuestan; luego son magnitudes diréctamente proporcionales.
Tabla con los datos del problema e indicación de las operaciones teniendo en cuenta que las magnitudes son diréctamente proporcionales:
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Una moto recorre 30 km en un 15 minutos, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas?
Las magnitudes que intervienen en el problema son:
Cuanto mayor sea la cantidad de horas del viaje, mayor será la cantidad de kilómetros recorridos; luego son magnitudes diréctamente proporcionales.
Tabla con los datos del problema e indicación de las operaciones teniendo en cuenta que las magnitudes son diréctamente proporcionales:
Nota: en este problema se convirtieron los 15 minutos a horas. Una hora tiene 4 intervalos de 15 minutos, es decir que 15 mintos es 1/4 de hora o sea 0,25 horas
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- Ejercicios Propuestos de regla de tres simple
(1) Si el 50% de una cantidad es 60, ¿Cuánto es el 25% de esa misma cantidad? ¿Cuál es la cantidad?
(2) 10 obreros tardan 2 meses en construir una casa. ¿Cuántos días tardarían 15 obreros?
(3) Un grifo con un determinado caudal tarda 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuántos minutos tardaría en llenarse el depósito con 3 grifos con el mismo caudal?
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(4) Un autobús tarda 1 hora en acabar su trayecto a una velocidad de 80 km/h. Si aumenta la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará en terminar su trayecto?
(5) Un trabajador gana en 1 día 60 $, ¿Cuánto ganará en un mes?
(6) Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?
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4. Regla de tres compuesta
Los problemas de "regla de tres compuesta" son aquellos que:
- Involucran más de dos magnitudes proporcionales
- En todos los pares dados de magnitudes, excepto en uno, se conoce el valor de ambas magnitudes.
- Procedimiento
Se explicará mediante el siguiente ejemplo:
"6 trabajadores cavan zanjas durante 5 horas al día, y en 12 días cavan 35 metros de zanjas. ¿Cuántos días tardarán 9 trabajadores que cavarán durante 8 horas al día, para cavar 105 metros de zanjas?"
(1) Elaborar una tabla como la siguente basada en los datos del problema.
(2) Analizar, respecto a días, como varían las otras magnitudes.
Trabajadores: a más trabajadores, menos días; luego la variacion es inversa. Horas por día: A más horas por día, menos días; luego la variación es inversa. Metros de zanjas: A más metros de zanjas, más días; luego la variación es directa. (3) Escribir el tipo de variación sobre la columna de la magnitud correspondiente.
(4) La respuesta se obtiene multiplicando el número que está encima de la incógnita por una fracción cuyo numerador y denominador se obtienen multiplicando los demás números.
numerador x = 12 · ――――――――――――― denominador |
(5) Factores del numerador:
- Si la relación es inversa se escoge el número que está en la misma fila donde está la incognita; por ejemplo, para trabajadores se selecciona el 6 y para horas por día el 5. - Si la relación es directa se escoge el número que está en la fila contraria a donde está la incognita; por ejemplo, para metros de zanja se selecciona el 105. (6) Factores del denominador: Son los demás números que no se seleccionaron para el numerador.(exceptuando por supuesto el que esté encima de la incognita)
6 · 5 · 105 x = 12 · ――――――――――――― 9 · 8 · 35 (7) Efectúamos las operaciones para obtener la respuesta.
x = 16 días
Nota: Este método puede aplicarse también para la regla de tres simple
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- Ejercicios Resueltos regla de tres compuesta
Si en cuatro autobuses se transportan 65 personas con un costo de 270000 pesos, ¿Con qué costo se transportarán 130 personas en 6 autobuses?
130 · 6 x = 270000 · ――――――――― 4 · 65 x = $ 810000 |
Una colonia de 55 bacterias consume 2 gramos de carne en 20 minutos. ¿Cuánto tardarán 110 bacterias en consumir 3 gramos de carne?
55 · 3 x = 20 · ――――――― 2 · 110 x = 15 minutos |
En un recorrido de 120 kilómetros, 4 autos llevan a 16 personas en 90 minutos. ¿Cuántos autos se necesitan para transportar a 60 personas en el mismo tiempo?
Nota: en este ejemplo podría pensarse que kilómetros y tiempo son magnitudes a considerar pero como no varían se las puede omitir en la tabla.
60 x = 4 · ―――― 16 x = 16 autos |
- Ejercicios Propuestos regla de tres compuesta
(1) Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $200000. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.
Respuesta: $400000
(2) 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
Respuesta: 2.14 días
(3) Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
Respuesta: 9 días
(4) Trece caballos en 4 días consumen 30 kg de alimento. ¿Cuántos días podrán alimentarse a 8 caballos con 60 kg de pienso?
Respuesta: ≈ 5 caballos
Bibliografía: