En esta sección explicaremos que un mismo punto punto puede tener diferentes coordenadas dependiendo del sistema de referencia que se elija. En particular, ¿qué pasa con las coordenadas de un punto cuando se refieren a otro sistema de coordenadas cuyo orígen se ha desplazado respecto al inicial?
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En esta animación, un sistema de coordenadas dibujado sobre un medio transparente se desplaza sobre otro sistema fijo de coordenadas.
Esto se conoce como traslación de ejes. En las siguientes figuras se muestra cuáles son las coordenadas del punto A (3, 2) en un sistema 1 (en negro), y las coordenadas del mismo punto respecto a un nuevo sistema 2 (en verde) cuyo origen se desplaza a un punto en cada uno de los cuadrantes del sistema 1: |
El orígen del nuevo sistema se desplaza al cuadrante I del sistema inicial
Coordenadas respecto al sistema móvil:
(3-(0.5) , 2-(0.5)) = (2.5 , 1.5) Abcisa en el sistema "inicial" = 3. Le restamos la abcisa del origen del "nuevo" sistema , es decir 0.5; esto resulta en que la abcisa del punto referida al sistema "nuevo" es 3 - 0.5 = 3 - 0.5 = 2.5.
Ordenada en el sistema "inicial" = 2. Le restamos la ordenada del origen del "nuevo" sistema , es decir 0.5; esto resulta en que la ordenada del punto referida al sistema "nuevo" es 2 - 0.5 = 2 - 0.5 = 1.5. |
El orígen del nuevo sistema se desplaza a los cuadrantes II, III y IV del sistema inicial
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El punto A cuyas coordenadas respecto al sistema "original" son (3,2).
Las coordenadas del mismo punto A pero ahora referidas a un "nuevo" sistema cuyo orígen, respecto al inicial, está en (0.5, 0.5), (-0.5 ,0.5), (-0.5, -0.5) y (0.5, -0.5) son: (2.5, 1.5), (3.5, 1.5), (3.5, 2.5) y (2.5, 2.5) respectívamente.
Como puede observarse, las nuevas coordenadas se obtuvieron a partir de las iniciales, restando a estas las coordenadas de los nuevos orígenes.
Las coordenadas del mismo punto A pero ahora referidas a un "nuevo" sistema cuyo orígen, respecto al inicial, está en (0.5, 0.5), (-0.5 ,0.5), (-0.5, -0.5) y (0.5, -0.5) son: (2.5, 1.5), (3.5, 1.5), (3.5, 2.5) y (2.5, 2.5) respectívamente.
Como puede observarse, las nuevas coordenadas se obtuvieron a partir de las iniciales, restando a estas las coordenadas de los nuevos orígenes.
Generalización:
Sea XY el sistema inicial y X'Y' el nuevo sistema tal que sus ejes son paralelos a los del inicial.
Sean (h, k) las coordenadas del origen del nuevo sistema respecto al sistema inicial. Supongamos que (x, y) son las coordenadfas de un punto respecto al sistema inicial y (x', y') las coordenadas del mismo punto respecto al sistema nuevo. x' e y' en función de x, y, h y k están dadas por: |
- Forma 1 del juego de transformaciones
x' = x - h
y' = y - k
y' = y - k
De este juego de ecuaciones se deduce este otro:
- Forma 2 del juego de transformaciones
x = x' + h
y = y' + k
y = y' + k
Que será de mucha utilidad cuando queramos hallar la forma que tiene una ecuación en un sistema 2 cuando su expresión en un sistema 1 es conocida. (véanse secciones 5 y 7)
Ejemplo 1: (aplicación de la forma 1 del juego de transformaciones)
Hallar las nuevas coordenadas del punto (6, 3) al trasladar los ejes a un nuevo orígen (2, -5)
Solución: Debemos hallar x' e y' sabiendo que x=6, y=3, h=2, k=-5. Aplicamos el juego de ecuaciones que nos dan x' en función de x para obtener:
Hallar las nuevas coordenadas del punto (6, 3) al trasladar los ejes a un nuevo orígen (2, -5)
Solución: Debemos hallar x' e y' sabiendo que x=6, y=3, h=2, k=-5. Aplicamos el juego de ecuaciones que nos dan x' en función de x para obtener:
x' = x - h
x' = 6 - 2 x' = 4 |
y' = y - k
y' = 3 - (-5) y' = 8 |
Las coordenads del punto (6, 3) respecto a un nuevo sistema cuyo orígen esta en (2, -5) son (4, -8)
Ejemplo 2: (aplicación de la forma 1 del juego de transformaciones)
¿Cuáles serán las coordenadas de un punto A que, en el sistema primitivo XY son (8,9), respecto a un nuevo sistema X'Y' cuyo origen está en (4,6), referido al primitivo?
Respuesta: Las coordenadas del orígen del nuevo sistema determinan los valores de h y de k. En este caso h=4, k=6 (8 - 4 , 9 - 6) = (4 , 3) Respecto al sistema primitivo las coordenadas del punto son (8,9) mientras que respecto al nuevo sistema las coordenadas del mismo punto son ahora (4,3). |
Ejemplo 3. (aplicación de la forma 1 del juego de transformaciones)
¿Cuáles serán las coordenadas de un punto A que, en un sistema XY son (-3,4), respecto a un sistema X'Y' cuyo origen está en (5,-2), referido al XY?
Respuesta: Las coordenadas del orígen del nuevo sistema determinan los valores de h y de k; en este caso h=5, k=-2
Respecto a X'Y' las coordenadas de A serán (-3-5, 4-(-2)) = (-8, 6)
¿Cuáles serán las coordenadas de un punto A que, en un sistema XY son (-3,4), respecto a un sistema X'Y' cuyo origen está en (5,-2), referido al XY?
Respuesta: Las coordenadas del orígen del nuevo sistema determinan los valores de h y de k; en este caso h=5, k=-2
Respecto a X'Y' las coordenadas de A serán (-3-5, 4-(-2)) = (-8, 6)
Ejemplo 4. (aplicación de la forma 2 del juego de transformaciones)
Si y = 3x representa una función en XY, ¿cuál sera la expresion de la función en un sistema X'Y' cuyo orígen está en (h, k) referido al XY
Respuesta: y' + h = 3(x' + k)
Si y = 3x representa una función en XY, ¿cuál sera la expresion de la función en un sistema X'Y' cuyo orígen está en (h, k) referido al XY
Respuesta: y' + h = 3(x' + k)